高校受験 最強攻略ガイド【数学編】展開・因数分解・方程式・関数・図形・確率 徹底攻略
高校受験「最強攻略ガイド」数学編です。展開・因数分解は入試全単元の土台になります。手順を丸暗記するのではなく、パターンを見抜く力を養いましょう。
数と式の徹底攻略
展開の公式は入試の全単元の土台になります。(x足すa)かける(x足すb)を展開すると、xの2乗に、aとbの和をかけたxを足し、さらにaとbの積を足した形になります。(x足すa)の2乗を展開すると、xの2乗に2aかけるxを足し、aの2乗を足した形になります。(x引くa)の2乗を展開すると、xの2乗から2aかけるxを引き、aの2乗を足した形になります。(x足すa)かける(x引くa)を展開すると、xの2乗からaの2乗を引いた形になり、これは和と差の積と呼ばれるパターンです。
因数分解は、展開の逆の操作として次の手順で考えると迷いません。まず共通因数でくくれないかを確認します。次に、和と差の積の形、つまりある数の2乗から別の数の2乗を引いた形になっていないかを確認します。次に、xの2乗にある数をかけたxと定数項が並ぶ形で、積が定数項になり和がxの係数になる2つの数を探します。最後に、xの2乗の前に1以外の数がついている場合はたすき掛けが必要かどうかを確認します。
具体例として、xの2乗から2xを引いて15を引いた式を因数分解する場合を考えます。積がマイナス15、和がマイナス2になる2つの数を探すと、3とマイナス5が見つかります。したがって、この式は(xに3を足したもの)かける(xから5を引いたもの)に因数分解できます。
平方根については、ある数の2乗にルートをつけたものは、その数の絶対値になるという点を必ず押さえておきましょう。特にその数が負の数のときに符号を間違えやすいため注意が必要です。根号の中はできる限り簡単な形にします。例えばルート18は、18を3の2乗かける2に素因数分解できるため、3ルート2という形に簡単にできます。分母に根号がある場合は、分母と分子に同じ根号をかけることで分母を有理数に直します。これを分母の有理化と呼びます。
方程式・不等式の徹底攻略
二次方程式を解く際は、状況に応じて解法を使い分けます。xの2乗が数に等しい形、または(x足すa)の2乗が数に等しい形であれば、平方根を利用して解きます。因数分解が簡単にできる形であれば因数分解を使います。因数分解ができない、あるいは係数が複雑な場合は解の公式を使います。解の公式は、xの2乗の係数をa、xの係数をb、定数項をcとすると、xはマイナスbにルートの中身がbの2乗からacの4倍を引いた数となる値をプラスマイナスして、それを2aで割った値になるというものです。
文章題にはいくつかの典型パターンがあります。速さと時間と距離の問題では、距離は速さかける時間という関係式を使い、単位を必ずそろえることが重要です。分と時間、キロメートルとメートルの混在は非常に多いケアレスミスの原因になります。割合や食塩水の濃度の問題では、食塩の量は食塩水の量かける濃度パーセントを100で割った値になるという関係を使い、混ぜる前後で食塩の量の合計が変わらないことを利用して式を立てます。代金と個数の問題では、単価かける個数の合計が代金になるという関係を使い、「〜円安くなった」といった条件も丁寧に式にしていきます。整数の性質に関する問題では、連続する整数はnとn足す1とn足す2のように文字でおき、十の位と一の位の数を文字でおいて元の数を10かけるxにyを足した形で表すという工夫が定石です。
具体例として、十の位の数と一の位の数の和が7で、位を入れ替えると元の数より9大きくなる2桁の整数を求める問題を考えます。十の位をx、一の位をyとすると、元の数は10かけるxにyを足した形、入れ替えた数は10かけるyにxを足した形で表せます。条件からxとyの和は7であり、入れ替えた数から元の数を引くと9になるという式を作ると、9かけるyから9かけるxを引いた値が9になるので、yからxを引いた値は1になります。この2つの式を連立方程式として解くと、xは3、yは4となり、元の数は34であるとわかります。
関数の徹底攻略
一次関数の式はy等号aかけるx足すbという形で表され、aは傾き、bはy軸との交点であるy切片を表します。傾きaは、yの増加量をxの増加量で割った値として求められます。2点を通る直線の式を求める際は、まず傾きを求めてから、いずれか1点の座標を代入してbを求めるという手順を踏みます。
二次関数y等号aかけるxの2乗という形の関数には、一次関数との決定的な違いがあります。それは、変化の割合が一定ではないという点です。変域の問題では特に注意すべき罠があります。xの変域がゼロをまたぐ場合、例えばマイナス2以上3以下のような変域では、yの最小値は変域の両端の値をそのまま代入して比較するのではなく、頂点である原点のyの値、つまりゼロになることを見落とさないようにしましょう。
具体例として、y等号2かけるxの2乗という関数でxの変域がマイナス1以上3以下のときのyの変域を求める問題を考えます。xがマイナス1のときyは2、xが3のときyは18となりますが、xの変域はゼロを含んでいるため、yの最小値はゼロになります。したがって、yの変域はゼロ以上18以下となります。
関数と図形の融合問題を解く手順は次の通りです。まず交点の座標を連立方程式で求めます。次に、面積を求めたい図形が座標軸に平行な線で分割できないかを検討します。面積が求めにくい三角形は、y軸やx軸に平行な補助線を引くことで2つの三角形や台形に分けると計算しやすくなります。座標平面上の三角形の面積は、x軸やy軸に平行な辺を底辺として使うと、底辺かける高さを2で割るという公式がそのまま使いやすくなります。
図形の徹底攻略
角度に関する基本性質を整理しておきましょう。三角形の内角の和は180度です。多角形の内角の和は、180度かける、辺の数からマイナス2をした値、という式で求められます。多角形の外角の和は、辺の数によらず常に360度になります。平行線においては、錯角と同位角はそれぞれ等しくなります。円周角の定理では、同じ弧に対する円周角は中心角の半分になり、同じ弧に対する円周角どうしはすべて等しくなります。円に内接する四角形では、向かい合う角の和は180度になります。
三角形の合同条件は3つあります。3辺がそれぞれ等しい場合、2辺とその間の角がそれぞれ等しい場合、1辺とその両端の角がそれぞれ等しい場合です。三角形の相似条件も3つあります。3組の辺の比がすべて等しい場合、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい場合、2組の角がそれぞれ等しい場合です。
証明問題を書く際の型も決まっています。まずどの三角形について証明するのかを示し、次に仮定からわかることを述べ、続いて性質や定理を用いて追加の根拠を示し、そのうえで合同条件や相似条件に必要な要素がそれぞれ等しいことをまとめ、最後に合同条件や相似条件によって結論を導くという流れを崩さないことが減点を避ける鍵になります。
三平方の定理は、直角三角形において直角をはさむ2辺のそれぞれの2乗の和が、斜辺の2乗に等しくなるという定理です。特別な直角三角形の辺の比は暗記必須です。3対4対5の比を持つ直角三角形、1対1対ルート2の比を持つ直角二等辺三角形(角度は45度・45度・90度)、1対2対ルート3の比を持つ直角三角形(角度は30度・60度・90度)の3パターンをすぐに使えるようにしておきましょう。応用として、直方体の対角線の長さは、縦、横、高さそれぞれの長さの2乗の和にルートをつけることで求められます。正四角錐の高さを求める問題では、底面の対角線の半分と側面の辺の長さから、三平方の定理を使って高さを導きます。
相似比と面積比・体積比の関係も頻出です。相似比がmとnの比であるとき、面積比はmの2乗とnの2乗の比になり、体積比はmの3乗とnの3乗の比になります。例えば相似な2つの円錐の相似比が2対3であるとき、体積比は2の3乗と3の3乗、つまり8対27になります。
面積や体積の公式も整理しておきましょう。おうぎ形の弧の長さは、円周率かける半径の2倍に、中心角を360で割った値をかけて求めます。おうぎ形の面積は、円周率かける半径の2乗に、中心角を360で割った値をかけて求めます。円柱の体積は底面積かける高さです。円錐の体積は、3分の1かける底面積かける高さです。球の体積は、3分の4かける円周率かける半径の3乗です。球の表面積は、4かける円周率かける半径の2乗です。
データの活用・確率の徹底攻略
代表値にはいくつかの種類があります。平均値はデータの合計を個数で割った値で、極端に大きい値や小さい値の影響を受けやすいという特徴があります。中央値はデータを大きさ順に並べたときの中央にくる値で、データの個数が偶数の場合は中央の2つの値の平均をとります。中央値は外れ値の影響を受けにくいという特徴があります。最頻値は最も個数の多い値で、度数分布表やヒストグラムを使った問題でよく問われます。範囲は最大値から最小値を引いた値で、データの散らばりの大きさを表します。
確率は、起こりうる場合の数をすべての場合の数で割った値として求められ、各場合が同様に確からしいことが前提になります。さいころ2個や硬貨3枚などの問題では、表や樹形図を使って全パターンを正確に書き出すことが最優先です。「少なくとも1つは〜」という形の問題は、余事象、つまりすべて〜でない場合の確率を求めて1から引くという方法が圧倒的に速く解けます。
具体例として、さいころを2回投げるとき、少なくとも1回は偶数の目が出る確率を求める問題を考えます。余事象である「2回とも奇数の目が出る」確率は、6分の3かける6分の3で4分の1になります。したがって求める確率は、1から4分の1を引いた4分の3となります。
標本調査についても押さえておきましょう。対象全体を調べる全数調査と、一部を抽出して全体を推定する標本調査があり、視聴率調査などは標本調査の代表例です。母集団、標本、標本平均の関係を理解しておくことも近年の出題傾向として重要です。
まとめ
数学は公式を丸暗記するだけでなく「どの手順で解くか」という判断の順序が重要です。因数分解は「共通因数→和と差の積→たすき掛け」、二次方程式は「平方根→因数分解→解の公式」という優先順位を体に染み込ませておきましょう。
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